抱着作业写都写了，不如记录一下（水一篇的）的原则，故有此帖

二维图形变换

旋转变换

绕着原点的旋转的变换矩阵

不算特别难，可以这样理解，在原点出作一个圆，函数式为
$$
x^2+y^2=r^2
$$
在圆上取一点A(x,y)，假设OA与x轴的角度为α，那么坐标也可以表示为(rcosα,rsinα)，那么如果将这个点旋转θ度呢，假设为点B(x’,y’)，坐标可以表示为(rcos(α+θ),rsin(α+θ))。
将这个坐标分解一下
$$
rcos(α+θ) = rcosαcosθ - rsinαsinθ
$$

$$
rsin(α+θ) = rsinαcosθ + rsinθcosα
$$

可以得到下面这个公式，其中的第一个矩阵就是变化矩阵
$$
\begin{bmatrix}
cosθ & -sinθ\
sinθ & cosθ
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
rcosα\rsinα
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
rcos(α+θ)\rsin(α+θ)
\end{bmatrix}
$$
因此，可以得到绕原点三十度的变换矩阵为
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}
$$
如果是点P(2,4)，根据上式计算
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
2\4
\end{bmatrix}

=
\begin{bmatrix}
\sqrt3-2\2\sqrt3+1
\end{bmatrix}
$$
可得旋转30°之后P’的坐标为
$$
\begin{bmatrix}
\sqrt{3}-2\2\sqrt{3}+1
\end{bmatrix}
$$

比例变换

关于点P(h,k)的比例变换，可以先分析对原点的比例变换。

假设存在点A(x,y)，对原点进行比例缩放

点A’(x’,y’)=(sx,sy)
$$
\begin{bmatrix}
s & 0\
0 & s
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
sx\sy
\end{bmatrix}
$$
如果要对固定点P(h,k)进行比例变换，可以将点P假设为原点，以点A为例，先变换为A’(x-h,y-k)，那么对于点A来说，点P就是原点，然后比例变换之后再移动回来的位置，即A’’(s(x-h)+h,s(y-k)+k)=(sx+(1-s)h,sy+(1-s)k)
$$
\begin{bmatrix}
s & 0\
0 & s
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
(1-s)h\
(1-s)k
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
s(x-h)+h\s(y-k)+k
\end{bmatrix}
$$
使用齐次坐标变换之后可以转换为
$$
\begin{bmatrix}
s & 0 &(1-s)h\
0 & s &(1-s)k\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
sx+(1-s)h\sy+(1-s)k\1
\end{bmatrix}
$$

组合变换

求三角形A(0,0),B(1,1),C(5,2)旋转45度后的新三角形的顶点坐标。

（1）绕坐标原点旋转；

（2）绕P(-1,-1)旋转。

可以使用齐次坐标变换矩阵相乘

旋转变换矩阵

$$
\begin{bmatrix}
cosθ & -sinθ & 0\
sinθ & cosθ & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\1
\end{bmatrix}
$$

平移变换矩阵

点A(x,y) -> 点B(x+h,y+k)
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & h\
0 & 1 & k\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x+h\y+k\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\1
\end{bmatrix}
$$

比例变换矩阵

点A(x,y) -> B(sx,sy)
$$
\begin{bmatrix}
s & 0 & 0\
0 & s & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
sx\sy\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\1
\end{bmatrix}
$$
（1）绕原点绕转45度，就是三个点都作一次绕转变换
三个点分别为A(0,0),B(1,1),C(5,2)
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 0\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0\0\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0\0\1
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 0\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1\1\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0\\sqrt2\1
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 0\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
5\2\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{3\sqrt2}{2}\\frac{7\sqrt2}{2}\1
\end{bmatrix}
$$

（2）绕P(-1,-1)旋转，就是先作一次平移再作一次旋转再作一次平移

第一次平移
$$
T_1=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\
0 & 1 & 1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
旋转
$$
T_2
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 0\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
第二次平移
$$
T_3
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\
0 & 1 & -1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
根据计算
$$
T_3\cdot T_2 \cdot T_1 \cdot X = X’
$$
那么完整的变换矩阵就应该是
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\
0 & 1 & -1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & 0\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\
0 & 1 & 1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \sqrt2-1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
三个点分别为A(0,0),B(1,1),C(5,2)
$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \sqrt2-1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0\0\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
-1\\sqrt2-1\1
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \sqrt2-1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1\1\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
-1\2\sqrt2-1\1
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt2}{2} & -\frac{\sqrt2}{2} & -1\
\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \sqrt2-1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
5\2\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\frac{3\sqrt2}{2}-1\\frac{9\sqrt2}{2}-1\1
\end{bmatrix}
$$

三维图形变换

旋转矩阵

首先要确定的是旋转的方向，以逆时针为正向，此逆时针方向为从旋转轴的正端点向负端点方向看的逆时针，即x转向y，y转向z，z转向x，此为正向。

依旧在球心作一个球
$$
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
$$
绕z轴旋转时，设A(x,y,z)，旋转α之后变为B(x’,y’,z’)，其余的跟二维差不多
由于绕z轴旋转，所以z=z’
$$
\begin{bmatrix}

cosθ & -sinθ & 0 & 0\
sinθ & cosθ & 0 & 0\
0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\z\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\z’\1
\end{bmatrix}
$$
绕y轴旋转时，同理得，y=y’，但是此处有一个特别需要注意的点，那就是旋转方向
设A(x,y,z)，原先的角度为θ，旋转α之后变为B(x’,y’,z’)
$$
x = -cos\theta\
y = sin\theta\
x’ = -cos(\theta+\alpha)\
y’ = sin(\theta+\alpha)
$$
可以看到x不是cosθ而是-cosθ，这就导致了绕y轴的旋转矩阵与其他轴的旋转矩阵不同。
$$
\begin{bmatrix}
cosθ & 0 & sinθ & 0\
0 & 1 & 0 & 0 \
-sinθ & 0 & cosθ & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\z\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\z’\1
\end{bmatrix}
$$
绕x轴旋转时，同理
$$
\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0\
0 & cosθ & -sinθ & 0\
0 & sinθ & cosθ & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x\y\z\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x’\y’\z’\1
\end{bmatrix}
$$
对于点P(x,y,z)

（1）写出它绕x轴旋转α角，然后绕y轴旋转β角的变换矩阵。

（2）写出它绕y轴旋转β角，然后绕x轴旋转α角的变换矩阵。

（3）所得到的变换矩阵的结果一样吗？

对于问题1
$$
\begin{bmatrix}
cos\beta & 0 & sin\beta & 0\
0 & 1 & 0 & 0 \
-sin\beta & 0 & cos\beta & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\
0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0\
0 & sin\alpha & cos\alpha & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
cos\beta & sin\beta sin\alpha & sin\beta cos\alpha & 0\
0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0\
-sin\beta & sin\alpha cos\beta & cos\alpha cos\beta & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
对于问题2
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\
0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0\
0 & sin\alpha & cos\alpha & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
cos\beta & 0 & sin\beta & 0\
0 & 1 & 0 & 0 \
-sin\beta & 0 & cos\beta & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
cos\beta & 0 & sin\beta & 0\
sin\beta sin\alpha & cos\alpha & -sin\alpha cos\beta & 0\
-sin\beta cos\alpha & sin\alpha & cos\alpha cos\beta & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
可以看到这两个变换矩阵并不一致

几何造型系统模型

几何造型系统中的线框造型、曲面造型和实体造型是计算机图形学和CAD领域常用的三种模型，以下是它们的描述以及优缺点分析：

1. 线框造型（Wireframe Modeling）

描述：通过顶点和边构成几何形状的骨架，通常用线段表示模型的边界和轮廓。

优点：

简单直观：表示形式简洁，适合快速生成和修改。
计算效率高：数据量小，适合简单的几何计算和低性能设备。
易于转换：可方便地与其他几何模型（如曲面和实体模型）结合使用。

缺点：

无法表示实体属性：没有体积、重量等物理属性。
易产生歧义：复杂模型中，可能会出现隐藏边和不可见表面的问题。
不支持布尔运算：难以进行交集、并集、差集等几何操作。

2. 曲面造型（Surface Modeling）

描述：通过定义物体的边界曲面（如NURBS曲面或多边形网格）来描述物体形状，适用于复杂和自由曲面。

优点：

精确描述形状：能够表示复杂曲面和自由形状，适用于工业设计、汽车外形设计等。
渲染效果好：表面细节明确，容易实现高质量的可视化和纹理映射。
灵活性高：支持精细化建模和编辑，例如局部调整。

缺点：

无法直接表示实体属性：与线框模型类似，只描述边界，缺少内部信息。
拓扑关系复杂：需要额外维护面与边、顶点的关系，数据结构复杂。
布尔运算困难：处理模型之间的几何交集需要复杂算法。

3. 实体造型（Solid Modeling）

描述：完整表示物体的外形和内部结构，常用构造方法包括边界表示（B-Rep）和构造实体几何（CSG）。

优点：

真实感强：包括物体的体积、质量、密度等属性，适合物理仿真和工程计算。
支持布尔运算：能方便地进行复杂的几何操作（并、交、差等）。
无歧义：每个模型都是封闭的三维体，不存在隐藏边或不可见表面的问题。

缺点：

计算复杂度高：数据结构复杂，存储和操作成本较高。
建模时间长：生成模型需要更多步骤，尤其是复杂模型。
不灵活：对自由形状的支持不如曲面造型。

总结对比

造型方法	适用场景	优势	劣势
线框造型	快速原型设计、简单几何结构建模	简单高效，直观易理解	无实体信息，易产生歧义
曲面造型	自由曲面建模、工业设计、外形渲染	表面精确，适合复杂形状	缺乏物理属性，布尔运算复杂
实体造型	工程设计、物理仿真、制造加工	实体完整，支持物理计算和布尔操作	数据量大，建模复杂

使用建议

线框造型：适合初期概念设计或简单几何模型。
曲面造型：适用于需要复杂外观的场景，如汽车外形、艺术品设计等。
实体造型：适用于工程制造、结构分析和物理仿真。

在实际应用中，三种模型常结合使用。例如，使用线框造型进行初步设计，再用曲面造型处理细节，最后转为实体造型进行物理分析和制造。

实体造型数据结构

构造实体几何（Constructive Solid Geometry, CSG） 和 边界表示（Boundary Representation, B-Rep） 是几何造型中常用的两种实体建模方法，它们在数据表示、操作复杂度以及适用场景上各有优缺点。以下是详细的比较和分析：

1. CSG法

描述：通过布尔运算（并、交、差）组合基本几何体（如立方体、球体、圆柱等）构建复杂实体。

优点：

表达简洁：使用少量的几何体和布尔操作即可描述复杂模型，数据结构紧凑。
易于参数化：可以通过修改几何体的参数或布尔操作规则快速调整模型。
高精度：基于数学定义，精度不受离散化影响。
适合程序化生成：特别适用于自动化建模和基于规则的设计。

缺点：

渲染困难：CSG模型无法直接渲染，需要转换为多边形网格或B-Rep格式。
不直观：对设计者而言，操作几何体组合不如直接修改边界形状直观。
难以处理复杂形状：对自由曲面或复杂形状支持有限，模型表达能力较低。
布尔运算成本高：计算布尔运算结果可能涉及复杂的几何求交计算，效率较低。

2. B-Rep法

描述：通过物体的边界（顶点、边和面）描述其形状和拓扑结构。

优点：

表示复杂形状：能准确表达自由曲面、复杂曲线和不规则几何体。
渲染友好：模型结构接近于图形渲染所需的多边形网格，易于直接渲染和可视化。
支持局部修改：可直接修改顶点、边或面的几何参数，灵活性高。
适用范围广：在工业设计、机械制造等领域广泛应用，能直接支持精密建模。

缺点：

数据复杂度高：需要存储边界信息以及拓扑关系，数据结构复杂。
难以构造完整模型：需要确保模型的几何和拓扑一致性，建模过程容易出错。
布尔运算复杂：几何体间布尔操作需要计算新边界，算法复杂且计算成本高。
维护拓扑关系成本高：尤其是在对模型进行复杂操作时，拓扑结构的更新可能导致效率下降。

比较总结

特性	CSG法	B-Rep法
表达能力	简洁，适合规则几何体	表达能力强，适合复杂形状
适用场景	参数化设计、规则几何体组合	工业设计、复杂曲面和不规则几何建模
操作灵活性	参数修改方便，局部调整困难	局部修改灵活，参数化较难
布尔运算	原生支持，但效率低	支持复杂形状布尔运算，但计算成本更高
存储需求	紧凑，基于数学公式描述	数据量大，需要存储边界和拓扑信息
渲染与可视化	必须转换为B-Rep或网格后才能渲染	直接渲染友好
算法实现难度	算法较为简单	算法复杂，需维护拓扑一致性

应用场景建议

CSG法适用场景：
- 工程设计和制造：适用于规则几何体的快速建模（如机械零件设计）。
- 参数化建模：适合需要频繁调整形状参数的场景。
B-Rep法适用场景：
- 工业设计：需要高精度复杂曲面建模（如汽车外形、飞机机翼设计）。
- 精密制造：需要对边界进行精细调整，适用于CNC加工或3D打印。

在实际工程中，CSG法和B-Rep法通常结合使用，例如用CSG法快速构建初始几何体，再转换为B-Rep法进行复杂的局部修改或渲染。

Hermite曲线

三次参数曲线的表示
$$
\begin{array}{l}
x(t) = a_1 + b_1t + c_1t^2 + d_1t^3\
y(t) = a_2 + b_2t + c_2t^2 + d_2t^3\
z(t) = a_3 + b_3t + c_3t^2 + d_2t^3\
\
p(t) =
\begin{bmatrix}
x(t)\
y(t)\
z(t)
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a_1 + b_1t + c_1t^2 + d_1t^3\
a_2 + b_2t + c_2t^2 + d_2t^3\
a_3 + b_3t + c_3t^2 + d_2t^3\
\end{bmatrix}
= p_0 + p_1t + p_2t^2 + p_3t^3
\end{array}
$$
推导Hermite曲线
$$
\begin{array}{l}
P(t) = p_0 + p_1t+ p_2t^2 + p_3t^3\
P’(t) = p_1 + 2p_2t + 3p_3t^2\
t = 0时，P(0) = p_0，P’(0) = p_1\
t = 1时，P(1) = p_0 + p_1 + p_2 + p_3，P’(1) = p_1 + 2p_2 + 3p_3
\end{array}
$$
联立可得
$$
\begin{array}{l}
p_0 = P(0)\
p_1 = P’(0)\
p_2 = 3(P(1) - P(0)) -2P’(0)- P’(1)\
p_3 = 2(P(1)-P(0))+P’(0)+P’(1)\
\end{array}
$$
可得
$$
\begin{array}{l}
p(t)\
= p_0 + p_1t + p_2t^2 + p_3t^3\
=P(0)+P’(0)t+[3(P(1) - P(0)) -2P’(0)- P’(1)]t^2 + [2(P(1)-P(0))+P’(0)+P’(1)]t^3
\end{array}
$$

选择t=0和t=1的理由

在参数化曲线的上下文中，通常选择 ( t = 0 ) 和 ( t = 1 ) 作为参数的特定值是为了简化曲线的定义和计算。这种选择有几个原因：

标准化参数范围

统一性：将参数范围标准化为 [0, 1] 使得曲线的定义更加一致和简洁。无论曲线的实际长度或形状如何，参数 ( t ) 的取值范围都是相同的，这使得在不同曲线之间进行比较和插值变得更加容易。
简化计算：在计算机图形学和动画中，使用统一的参数范围可以简化插值和动画的实现。例如，动画师可以在 [0, 1] 范围内定义关键帧，而计算机可以根据参数值自动插值生成平滑的动画。

控制点的定义

起始和结束点：在Hermite曲线中，( P_0 ) 和 ( P_1 ) 分别对应于 ( t = 0 ) 和 ( t = 1 )。这种定义使得曲线的起始和结束位置明确，便于控制和理解。
切线向量：切线向量 ( M_0 ) 和 ( M_1 ) 在 ( t = 0 ) 和 ( t = 1 ) 处的定义确保了曲线在这两个点的方向和斜率是可控的。这种控制对于生成平滑的曲线非常重要。

数学性质

多项式的性质：在多项式曲线中，选择特定的参数值（如 0 和 1）可以使得多项式的计算和求导变得更加简单。对于三次多项式，通常在这两个点处求值和求导可以直接得到曲线的起始和结束状态。

灵活性

参数化的灵活性：虽然我们通常选择 ( t = 0 ) 和 ( t = 1 ) 作为起始和结束点，但实际上，参数 ( t ) 可以被线性变换到其他范围。例如，如果你有一个参数范围 [a, b]，可以通过线性变换将其映射到 [0, 1]。这样，仍然可以在 [0, 1] 范围内使用Hermite曲线的定义。

总结

选择 ( t = 0 ) 和 ( t = 1 ) 作为参数的特定值是为了简化曲线的定义、计算和控制。虽然可以选择其他值，但这种标准化的选择在实际应用中提供了更大的便利性和一致性。

三次Bezier曲线

三次Bezier曲线推导

首先明确一点，n次Bezier曲线是由n+1个确定的

首先看看一次Bezier曲线，就是一条线性插值曲线
$$
\begin{array}{l}
设存在点P_0和P_1\
B(t) = P_0 + (P_1-P_0)t = (1-t)P_0+P_1
\end{array}
$$
再看二次Bezier曲线，其实是由一次Bezier曲线推导而来的
$$
\begin{array}{l}
设存在三个点P_0、P_1、P_2，
\还存在两个点Q_0、Q_1，这两个点分别在线段P_0P_1和P_1P_2上
\
\Q_0 = B_0(t) = P_0 + (P_1-P_0)t = (1-t)P_0 + P_1
\Q_1 = B_1(t) = P_1 + (P_2-P_1)t = (1-t)P_1 + P_2
\B(t) = Q_0 + (Q_1-Q_0)t =(1-t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2
\end{array}
$$
由于可以得到二次Bezier曲线的函数式，动态图如下
图源为https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E8%8C%B2%E6%9B%B2%E7%B7%9A#/media/File:B%C3%A9zier_2_big.gif

Bézier_2_big

再看三次Bezier曲线，显而易见三次Bezier曲线也是由二次Bezier曲线推导而来，且各个参数符合多项式定理
$$
\begin{array}{l}
设存在四个点P_0、P_1、P_2、P_3\
在线段P_0P_1、P_1P_2、P_2P_3上存在点Q_0、Q_1、Q_2
在线段Q_0Q_1、Q_1Q_2上存在点R_0、R_1\
\
R_0 = Q_0 + (Q_1-Q_0)t\
R_1 = Q_1 + (Q_2-Q_1)t\
B(t)\
= R_0 + (R_1-R_0)t\
= (1-t)^2Q_0 + 2t(1-t)Q_1 + t^2Q_2\
= (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3
\end{array}
$$
由此便可以得到三次Bezier曲线的函数式，动态图如下

Bézier_3_big

四次Bezier曲线，动态图如下

Bézier_4_big

五次Bezier曲线，动态图如下（五次的比较帅）

Bézier_5_big

三次B样条曲线

这个比较复杂我感觉
$$
{\displaystyle \mathbf {S} (t)=\sum {i=0}^{m-1}\mathbf {P} {i}b{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [t{n-1},t_{m+1}]}
\
{\displaystyle b_{j,0}(t)=\left<!–swig0–>\right.}
\
{\displaystyle b_{j,n}(t)={\frac {t-t_{j}}{t_{j+n}-t_{j}}}b_{j,n-1}(t)+{\frac {t_{j+n+1}-t}{t_{j+n+1}-t_{j+1}}}b_{j+1,n-1}(t)}
$$

先解释一下各个参数的含义，
$$
\begin{array}{l}
m：控制点的个数为m\
P_i：表示对应的控制点\
i：表示点的系数\
n: 表示B样条曲线的次数，组成的曲线的次数是 n - 1\
例如3次B样条曲线，该曲线是由2次函数的曲线拼接起来的\
t_i：表示取值范围\
b_{i,n}：是[Cox-deBoor 递归公式]
\end{array}
$$
先看一次B样条曲线

n=1，m=2，P就是控制点，t = [0,1,2,3]
$$
\begin{array}{l}
{\displaystyle \mathbf {S} (t)=\sum {i=0}^{1}\mathbf {P} {i}b{i,1}(t){\mbox{ , }}t\in [t{0},t_{3}]} \
\mathbf {S}(t) = \mathbf P_0b_{0,1}(t) + \mathbf P_1b_{1,1}(t)\
b_{0,1}(t) ={\frac {t-t_{0}}{t_{1}-t_{0}}}b_{0,0}(t)+{\frac {t_{2}-t}{t_{2}-t_{1}}}b_{1,0}(t)\
b_{1,1}(t) ={\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}b_{1,0}(t)+{\frac {t_{3}-t}{t_{3}-t_{2}}}b_{2,0}(t)\
{\displaystyle b_{0,0}(t)=\left<!–swig1–>\right.}\
{\displaystyle b_{1,0}(t)=\left<!–swig2–>\right.}\
{\displaystyle b_{2,0}(t)=\left<!–swig3–>\right.}\
b_{0,1}(t) =\left<!–swig4–>{t_{1}-t_{0}}&\mathrm {} \quad t_{0}<t<t_{1}\\frac {t_{2}-t}{t_{2}-t_{1}}&\mathrm {} \quad t_{1}<t<t_{2}\0&\mathrm {…} \end{matrix}}\right.\
b_{1,1}(t) =\left<!–swig5–>{t_{2}-t_{1}}&\mathrm {} \quad t_{1}<t<t_{2}\\frac {t_{3}-t}{t_{3}-t_{2}}&\mathrm {} \quad t_{2}<t<t_{3}\0&\mathrm {…} \end{matrix}}\right.\
\mathbf {S}(t) = \mathbf P_0b_{0,1}(t) + \mathbf P_1b_{1,1}(t) = \left<!–swig6–>{t_{1}-t_{0}}&\mathrm {} \quad t_{0}<t<t_{1}\\mathbf P_0\frac {t_2-t}{t_{2}-t_{1}}+\mathbf P_1\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}&\mathrm {} \quad t_{1}<t<t_{2}\\mathbf P_1\frac {t_{3}-t}{t_{3}-t_{2}}&\mathrm {} \quad t_{2}<t<t_{3}\0&\mathrm {…} \end{matrix}}\right.\
=\left<!–swig7–>\right.
\end{array}
$$
好吧，非常难推（主要是latex太难写了，感觉不如手写）

主要就是阶数从低到高推导，然后计算出对应的参数，其余的都比较简单

反正推到最后可以推出三次B样条曲线的函数式为，其中N就是计算出的参数函数式
$$
C(t)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,4}(t)P_i
$$
均匀B样条曲线就是指t的值为递增的等差数列，首项为0，公差为1

三次Bezier曲面

从Bezier曲线拓展到Bezier曲面

从一次Bezier曲线到一次Bezier曲面，已知由两个控制点能够控制一条一次Bezier曲线，那么由四个控制点组成的网格就能够控制一个一次Bezier曲面
$$
\begin{array}{l}
设四个控制点为P_{00},P_{01},P_{10},P_{11}\
P_{00}为左下角,P_{01}为左上角,P_{10}为右下角,P_{11}为右上角\
P_{00}P_{01}为v方向，P_{00}P_{10}为u方向\
先在v方向上插值，得到两条一次Bezier曲线\
B_{u0}(v) = (1-v)P_{00} + vP_{01}\
B_{u1}(v) = (1-v)P_{10} + vP_{11}\
再在u方向上插值，\
S(u,v) \
= (1-u)B_{u0}(v) + uB_{u1}(v) \
= (1-u)(1-v)P_{00} + u(1-v)P_{10} + (1-u)vP_{01} + uvP_{11}

\end{array}
$$

从二次Bezier曲线到二次Bezier曲面，二次Bezier曲面由3*3的网格组成
$$
\begin{array}{l}
设九个点为P_{00},P_{01},P_{02},P_{10},P_{11},P_{12},P_{20},P_{21},P_{22}\
先在v方向上插值，根据二次Bezier曲线可得\
R_{u0}(v) = (1-v)^2P_{00} + 2v(1-v)P_{01} + v^2P_{02}\
R_{u1}(v) = (1-v)^2P_{10} + 2v(1-v)P_{11} + v^2P_{12}\
R_{u2}(v) = (1-v)^2P_{20} + 2v(1-v)P_{21} + v^2P_{22}\
设B(v)为基函数\
{\displaystyle R_{ui}(v) = \sum_{j=0}^{2}P_{ij}B(v)},其中i\in[0,1,2]\
再在u方向上插值，
S(u,v) \
= {\displaystyle \sum_{i=0}^{2}R_{ui}(v)B(u)}\
= {\displaystyle \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2}P_{ij}B(v)B(u)}
\end{array}
$$

再回到三次Bezier曲线

可以注意到
$$
\begin{array}{l}
S(u,v) \
= {\displaystyle \sum_{i=0}^{3}R_{ui}(v)B(u)}\
= {\displaystyle \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}P_{ij}B(v)B(u)}
\end{array}
$$

三次B样条曲面

$$
\begin{array}{l}
S(u,v)={\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}N_{i,3}(u)N_{j,3}(v)P_{i.j}}
\end{array}
$$

加权残值法

在实现加权残值法之前首先要得出残差方程R(x)
残差方程就是将微分方程移到一侧得到的方程。
得到残差方程之后还应该估计出原方程的，可以通过二项式来估计原方程，然后计算未知的二项式参数。二项式参数就是加权残值法中的权值。