数一
高数（基础）
一、函数极限与连续
1、求反函数时应该注意定义域的变化，反函数的定义域是由原函数的值域变化而来的。
2、当x->0时，高阶无穷小是指让极限趋向于0的值。
1 | x->0时，x^2 < x，即 lim(x->0)(x^2/x) -> 0 |
3、等价无穷小
1 | sinx ~ x |
4、泰勒公式
1 | sinx = x - (x^3)/3! + o(x^3) |
5、泰勒公式可以使用乘法和除法简化计算
6、使用重要极限时不要忘记了e
7、0和无穷的乘积是0
8、x->+∞时，e^x趋于∞；但是x->-无穷时，e^x趋于0。在计算x->∞时需要特别注意
9、特殊的求导
1 | (a^x)' = (a^x)*lna |
10、遇到根号内式子比较复杂的可以尝试有理化，有理化之后可能更简单。
11、符合条件时优先使用洛必达，比泰勒公式和夹逼准则快一些。
12、遇到形式复杂的成对三角函数，但是奇数次方，可以尝试平方化为1，简化计算。
13、多项式和多项式的项数是不同的概念，注意区分。
14、在闭区间上连续，但是在闭区间的两端无定义，可能是因为
1 | 在某些情况下，函数可能在某些点未定义，但我们可以通过极限来分析这些点的行为。这种情况通常出现在以下几种情形中 |
也就是说可能是可去间断点，此时可以认为是连续的？求解极限时注意要从左端点的右侧和右端点左侧逼近。
这里有一处错误，在某个点连续并不意味着在这个点有定义，而是在其邻域有定义即可。
此处应该是利用了函数的局部有界性
15、又是一个神奇的化简
1 | x^x-1 ~ e^(xlnx)-1 ~ xlnx |
二、数列极限
1、数列可以看作x取正整数的函数
2、前n项和为有限值，无穷项和才涉及发散和收敛。（无穷项和跳转到十六、无穷级数）
3、证明x^2的前n项和公式
4、针对形如[A(B-A)]^(-1/2)的式子，可以使用基本不等式
1 | 由a+b>=(ab)^(-1/2)可以得到， |
5、证明常用数学归纳法。
6、判断数列是否收敛或者发散
1 | 原数列收敛=>子数列收敛 |
7、加了绝对值相比于不加绝对值的约束是更少的，需要考虑的情况也更少，因此由加了绝对值的式子反推不加绝对值的式子需要添加更多的约束条件。
8、欲证lim(x->∞)a_n = 0，可以转化为证明lim(x->∞)|a_n| = 0
9、lim(n->∞)(a_n+b_n)存在无法得到lim(n->∞)(a_n)和lim(n->∞)(b_n)存在的结论，但是lim(n->∞)(a_n+b_n)和lim(n->∞)(a_n-b_n)都存在可以推导出上述结论。
10、使用海涅定理将函数极限转为数列极限求解时条件是很苛刻的，需要对所有数列都成立才成立，但是对于将数列极限转为函数极限求解，条件则比较简单。
海涅定理可以用于证明函数的不连续性，通过不同的数列极限得证。
11、一个比较有用的结论，跟根号相关。
12、通过比较收敛的速度可以比较大小。
三、微分
1、函数f(x)在x0的邻域有定义，在x0处的极限存在且等于f(x0)，则称f(x)在x0处连续。
2、若f(x)在x0处的左右导数极限相等且有限，则称f(x)在x0处可导。
3、可导必定连续，可以使用可导来证明函数的连续性。
4、关于函数的奇偶性，如果f(x)+f(-x)=a（a为一个实数），则g(x) = f(x) - a/2为奇函数，且 g’(x) = f’(x)。
对于复合函数，外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数；外层函数为奇函数，则由内层函数决定其奇偶性。
5、函数带绝对值符号时一般需要先根据定义域分段。
6、对于F(x) = f(x)|x-a||x-b||x-c|，则f(a)/f(b)/f(c)=0是F(x)在x=a/b/c处可导的充要条件。
7、对于一元函数，可导和可微互为充要条件。
8、在可微的定义中，**Δy = AΔx + o(Δx)**（A为实数），dy = AΔx => lim(Δx->0)Δy/Δx = A，即y’ = A。Δx = dx，dy = Adx
9、lim(x->x0) [f(g(x))-f(x0)]/[g(x)-x0] = f’(x0)，当x0 = 0时，lim(x->0) [f(g(x)) - f(0)]/[g(x) - 0] = f’(0)
10、lim(x->0)f(x)+g(x)，当f(0)=A时，为了保证精度，令f(x) = f(0) + f’(0)x，而不是直接将f(x)用f(0)代替。
11、g(x) = ln(f(x))，lim(x->x0)[ ln(f(x))- ln(f(x0))]/(x-x0) = lim(x->x0)[g(x) - g(x0)]/(x-x0)
12、如果没有提n->∞是+∞还是-∞，默认可以作为+的看待。
四、一元函数微分学的计算
1、ln|x|求导时，可视“绝对值符号”而不见
2、反函数的导数和原函数的导数互为倒数，假设f(x)的反函数为g(y)，f’(x) = dy/dx，g’(y) = dx/dy，f’(x) = 1/g’(y)
$$
f’(x) = y’x = 1/x’y\
g’(y) = x’y = 1/y’x\
f’’(x) = y’’{xx} = -x’’{yy}/(x’y)^3\
g’’(y) = x’’{yy} = -y’’{xx}/(y’x)^3
$$
3、n阶导数
$$
(sinx)^{(n)} = sin(x+n*\pi/2),n = 1,2,3,…\
$$
4、莱布尼茨公式
$$
(u+v)^{(n)} = u^{(n)} + v^{(n)}\
(u-v)^{(n)} = u^{(n)} - v^{(n)}\
(uv)^{(n)} = \sum^{n}{k=0}C^{k}nu^{(n-k)}v^{(k)}
$$
5、二项式定理（和的n次方）
$$
(a+b)^{n} = \sum^{n}{k=0}C^{k}na^{n-k}b^{k}
$$
6、泰勒公式
$$
y = f(x) = \sum^{\infty}{n=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\
$$
7、x0=0时
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\
\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}\
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n\
(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n\
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\
\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n} - 1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}
$$
8、绝对值可以转化为根号下平方的形式
五、一元函数微分学的应用（一）——几何应用
1、导数大于0，只能说明原函数递增，不能说明原函数递增的速度。
2、二阶导数大于0，原函数为凹函数；二阶导数小于0，原函数为凸函数。
3、函数存在极值点，则极值点的一阶导数不存在或一阶导数为0。
4、函数存在拐点，则极值点的二阶导数不存在或者二阶导数为0。
5、极值点与拐点的重要结论
6、寻找渐近线的方法和顺序
1 | 1、找无定义点、端点和分段函数的分段点，如果这些点的极限趋向于无穷，说明存在铅直渐近线。 |
7、闭区间求最值只需要求极值，开区间求最值需要求端点的极限和极值
8、曲率公式，k为曲率，p为曲率半径。弯曲程度越大，曲率越大，曲率圆的半径越小
$$
\kappa = \frac{\left| f’’(x) \right|}{\left[ 1 + \left(f’(x)\right)^2 \right]^{3/2}}.\
\rho = \frac{1}{|\kappa|}
$$
8、可导性需要通过定义确定。
9、拐点可以是不可导点或者二阶导数为0的点，不要忘记不可导点。
10、曲线上一点的曲率圆方程，关于该点的一阶导数和二阶导数都与曲线关于该点的一阶导数和二阶导数相等。
11、从根号从提取自变量时，注意要加绝对值
$$
\sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
$$
六、一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式
1、函数的有界与最值定理：m<=f(x)<=M。
m为函数在区间内的最小值，M为函数在区间的最大值，由于函数存在最小值和最大值，因此该函数为有界函数。
2、函数的介值定理：函数在[a.b]之间连续，当m<=μ<=M时，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ) = μ。
很好理解，由于函数是连续的，因此在[m,M]之间的函数值都有与之对应的自变量。
3、函数的平均值定理：
$$
当a<x_1<x_2<…<x_n<b时，在[x_1,x_n]内至少存在一点ξ，使得\f(ξ) =\frac{f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)}{n}
$$
由于函数值的值域为[m,M]，因此在[a,b]之间的所有自变量对应的函数值都符合最值定理，即m<=f(x)<=M，将n个f(x)相加，可以得到
$$
m<=\frac{f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)}{n}<=M\
μ = \frac{f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)}{n}\
由函数的介值定理得，f(ξ) =\frac{f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)}{n}
$$
4、函数的零点定理：当f(a)*f(b) < 0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ) = 0
这个也很好理解，由于f(x)是连续的，且f(a)和f(b)异号，那么一个为正值一个为负值，其中肯定有穿过y=0的时刻，因此存在μ = 0，则必定有一个与之对应的ξ使得f(ξ) = 0，且至少存在一个ξ。
5、导数的费马定理：若f(x)在点a处可导且为极值点，则f’(a) = 0。
6、导数的零点定理：若f(x)在[a.b]上可导
$$
当f^{‘}+(a) *f^{‘}-(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f^{‘}(ξ)=0
$$
证明时可通过极限的保号性来证明f(a)和f(b)不是函数的最值，因此函数的最值为极值，在(a,b)之间存在极值点。或者在f’(x)中通过函数的零点定理证明。
7、导数的罗尔定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0。
由于曲线的两端是等高的，那么在曲线中间可能的情况有两种。一种情况下曲线为直线，在(a,b)上，任意的f(x) = f(a) = f(b)，那么函数值没有发生变化，f’(x) = 0；另一种情况，曲线不为直线，而是上下起伏，那么肯定存在波峰和波谷，即极值，极值点处的f’(x) = 0。
注意罗尔定理可能需要对导数的运算定理进行逆运用，需要对函数进行敏锐观察。
8、若f(a) = f(b) = f(c)，可以通过两次罗尔定理，得到f’(μ) = f’(ξ)，可以再通过罗尔定理，得到存在二阶导数为0的点。
9、证明n阶导数为0使用罗尔定理的可能性比较大，证明n阶导数不为0使用泰勒公式的可能性比较大。
10、导数的拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则存在ξ∈(a,b)，使得
$$
f(b) - f(a) = f’(ξ)(b-a)
$$
即针对穿过点a和点b的直线，在区间[a,b]之间存在点ξ的导数与直线的斜率相等。
11、见到f(a)-f(b)或者f和f’的关系，一般会想到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的作用是用导函数的值来控制函数值的增减。
12、证明有界性的重点在于最后得到的结果要全部转换为常数。
13、导数的柯西中值定理：f(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则存在ξ属于(a,b)，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(ξ)}{g’(ξ)}
$$
可以认为是使用了参数方程表示曲线，即x = g(t)，y = f(t)，则存在点A(g(a),f(a))，点B(g(b),f(b))，过点A和点B可以作一条直线，而在曲线上存在一点ξ，导数为dy/dx = f’(ξ)/g’(ξ)，使得该点的导数与直线的斜率相等。
可以观察到，柯西中值定理实际上是拉格朗日中值定理的拓展。
12、与二阶导数及高阶导数相关的不等式可以考虑泰勒公式。
13、函数图像
$$
f(x) = \frac{e^x}{x}
$$
14、导数连续时才能使用柯西中值定理和洛必达法则。
15、导数存在和导数连续不是一个概念，导数存在只和点相关，而导数连续是一个区间，需要从两端逼近。
七、一元函数微分学的应用（三）——物理应用及经济应用
八、一元函数积分学的概念与性质
1、连续函数f(x)必定存在原函数F(x)
2、如果f(x)是处处有定义的，那么说明原函数F(x)处处可导，F(x)是连续的。
3、含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内不存在原函数F(x)。
4、可导必连续。
5、若f(x)可导，则f’(x)可能连续，也可能含有振荡间断点。
1 | 存在振荡间断点的函数不会突变，只是在某个点处振荡导致无极限值，所以被认为是无极限，间断指的是极限值和函数值不相等。 |
6、定积分的值是一个客观值，只跟被积函数及积分区间相关。
7、闭区间上连续函数一定有界。连续函数一定存在不定积分和定积分。
8、可积函数必有界。
9、原函数存在定理
1 | 1、被积函数连续则必有原函数 |
10、定积分存在定理
1 | 定积分存在的充分条件 |
11、变限积分（本质是一个由定积分定义的函数）
1 | 1、若变限积分可积，则原函数存在且连续，被积函数存在但不一定连续。 |
12、反常积分（区间无限或被积函数无界）
1 | 可使用比较判别法判断 |
九、一元函数积分学的计算
1、注意e^x的负无穷值和正无穷不同。
2、遇到变限函数可能需要分段求解
3、
$$
arcsinx + arccosx = \pi/2
$$
4、三角函数的万能代换公式
$$
t = tan(x/2)\
sint = \frac{2t}{(1+t^2)}\
cost = \frac{1-t^2}{1+t^2}\
dx = \frac{2dt}{1+t^2}
$$
5、遇到形如
$$
\frac{x^2}{1+x^2}，转为1-\frac{1}{1+x^2}
$$
6、遇到形如
$$
\sqrt{x^2+1}-x，转为\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}
$$
十、一元函数积分学的应用（一）——几何应用
十一、一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式
1、由积分中值定理推广而来，
$$
\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)
$$
则
$$
\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx
$$
由介值定理可推导得出。当g(x) = 1时得到标准的积分中值定理。
2、
$$
f(\xi)\int_\xi^b g(x)dx = g(\xi)\int_a^\xi f(x)dx\
=> f(\xi)\int_\xi^b g(x)dx - g(\xi)\int_a^\xi f(x)dx = 0\
=> [\int_a^\xi f(x)dx\int_\xi^b g(x)dx]’ = 0
$$
3、
$$
\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^4}dx = \int_0^{+\infty} \frac{x^2 }{1+x^4}dx = \frac{\sqrt2}{4}\pi
$$
使用倒代换可以得到
十二、一元函数积分学的应用（三）——物理应用于经济应用
十三、多元函数微分学
1、
$$
|xy|<=\frac{x^2+y^2}{2}
$$
2、(1+x)^a - 1 ~ ax
3、若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数在该点处的偏导数必定存在。
一元函数可微和可导是充要条件，二元函数可微和偏导数存在且连续是充要条件。
4、
5、二元函数的拉格朗日定理中，对于f(x,y)，如果x和y的偏导数都为0，则在定义域中，f(x,y)为常数。但是如果只有一个偏导为0，不能得出f(x,y)只由另一个变量决定。
6、二元函数极值的充分条件
$$
充分条件（Hessian判别法）\
计算 (f) 在 (a, b) 处的二阶偏导数，定义 Hessian矩阵 的行列式： \
D = \begin{vmatrix}
f_{xx}(a, b) & f_{xy}(a, b) \
f_{yx}(a, b) & f_{yy}(a, b)
\end{vmatrix} = f_{xx}(a, b) \cdot f_{yy}(a, b) - \big(f_{xy}(a, b)\big)^2.
$$
情形1：D>0且 f(a,b)>0
(a,b)是 极小值点（局部凸，曲面向上开口）。
情形2：D>0且 f(a,b)<0
是 极大值点（局部凹，曲面向下开口）。
情形3：D<0
(a,b)是 鞍点（非极值点，沿某些方向增，另一些方向减）。
情形4：D=0
判别法失效，需用其他方法（如高阶导数或路径分析）进一步判定。
7、二元函数极值的必要条件
点的偏导数为0或偏导数不存在
8、条件最值
通过约束条件通常可以得到z=(x,y)，代入u中可以得到f(x,y,(x,y))，转为条件最值计算。
9、点到直线距离公式
点(x0,y0)到Ax+By+C=0的距离为
$$
d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$
10、最远近点的垂线原理
对于光滑闭曲线，点Q在光滑闭曲线外，点M和点N为曲线上与点Q的最远点和最近点，则直线QM和QN与曲线上点M和点N的切线垂直。
1 | 光滑闭曲线的最近点和（凸时的）最远点均满足 连线与切线垂直。 |
对于两个不相交的光滑闭曲线，点P和点Q分别为其最远点（最近点），则直线PQ为两个曲线的切线的公垂线。
1 | 通用性质：两条光滑闭曲线的极值距离点（最近或最远）连线是它们的 公法线（与双方切线均垂直）。 |
11、有界闭区域内，应该求出内部和外界两个部分的极值再进行比较。
边界上可以通过拉格朗日乘数法或者代入法，内部通过极值的必要条件进行判断。
12、二元函数的路径是很灵活的，可以尝试令y = f(x)，用于计算极限。
13、二元函数为0时可能有偏导，需要使用定义进行求解。
14、偏导数判断得到的极值是边界内的值，不包含边界处的值。
15、如果二重偏导无法得到是否为极值，此时将一个变量固定，变为一元函数，计算其是否为极值。
十四、二重积分
1、可积函数必有界
2、二重积分的中值定理
若函数f(x,y)在有界闭区域D内连续，A为D的面积，则在D上必定存在一点(ξ,η)，使得
$$
\int\int_Df(x,y)d\sigma = f(\xi,\eta)A
$$
3、寻找二重积分的最大值的区域，即是寻找使被积函数大于等于0的区域。
4、当二重积分难以计算，但是不用得出准确值时，可以使用中值定理进行代换。当二重积分为抽象函数时同样可取。
5、计算二重积分时应该优先考虑对称性。
6、普通对称性用于计算二重积分的主要是化为2倍的一半区域积分或者0。轮转对称性用于计算f(x,y)+f(y,x)，计算时交换x和y，但是积分区域仍然不变。
1 | 轮转对称性在积分区域关于y=x对称时有效 |
7、如果二重积分的被积函数为f(x^2+y^2)，f(x/y)，f(y/x)时，或者积分区域为圆或圆的一部分，则优先考虑使用极坐标系下的二重积分。
1 | 使用极坐标系下的二重积分时应该特别注意rdr。 |
8、特殊结论
$$
\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt\pi}{2}
$$
由于积分符号和积分值无关，因为可以理解为
$$
\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx + \int_0^{+\infty}e^{-y^2}dx
$$
再转为极坐标系进行计算，就可以得到结果
9、当题目是累次积分时，通过考虑换积分顺序或者换坐标系。
10、二重积分的换元公式
$$
设变量替换为：
x = x(u, v), \quad y = y(u, v),
\
其中雅可比行列式 ( J \neq 0 )，则：\
\iint\limits_{D_{xy}} f(x, y) , \mathrm{d}x , \mathrm{d}y = \iint\limits_{D_{uv}} f\big(x(u, v), y(u, v)\big) \cdot |J| , \mathrm{d}u , \mathrm{d}v,\
雅可比行列式为：
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \[1em]
\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}.
$$
极坐标系公式为换元公式的特例，使用换元法时注意修改积分区域、被积函数、积分变量。
11、通过换元法可以将椭圆换元为类似极坐标系的情况，便于计算。
十五、微分方程
1、微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。
2、原函数为一元函数的是常微分方程，多元函数的为偏微分方程。
3、微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解。
4、含有x和y的线性组合且无法分离时可以采用换元法分离
5、